المعادلات من الدرجة الثالثة

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

مرحبا بكم مع بحث شيق و مبسط لطريقة الحل العام للمعادلات من الدرجة الثالثة، و دون أن أطيل عليكم أترككم مع البحث ...

ابتداء من مرحلة الجدع المشترك و بعد استكشاف الحل العام للمعادلات الجبرية من الدرجة الثانية تبدأ العقول الرياضية بالتساؤل حول طريقة حل المعادلات من الدرجة الثالثة هل حلها يشبه حل سابقتها؟ في هذه الحالة فهناك إمكانية لإيجاد الحل العام للمعادلات الجبرية من الدرجة النونية. هل سنلجأ مرة أخرى لحساب المميز؟ كل هذه التساؤلات سنجيب عنها في هذا البحث الذي سنتطرق فيه إلى حل هذا النوع من المعادلات بالشرح و التفصيل المبسط مع مثال توضيحي لطريقة الحل وبعض التمارين التطبيقية .

(1) $$ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 $$

في القرن السادس عشر اكتشف العالم كردان Cardan طريقة لحل المعادلات من الدرجة الثالثة و قبل عرض طريقته ينبغي ابتداء الإلمام بالأعداد العقدية التي تدرس في السنة الختامية من السلك الثانوي لذلك ستكون تفاصيل الحل في المجموعة $ \mathbb{R}$ .

سيقودنا البحث عن حل هذه المعادلة إلى البحث عن المعادلة التي ستكون على الشكل التالي: $ y^3+py+q=0$ (2) و ذلك لان المعادلة (1) يستعصي حلها إلا إذا حاولنا كتابتها على شكل المعادلة (2) بتتبع المراحل التالية:

نضع :

$$x=y-\frac{b}{3a}$$

x هو مجهول المعادلة (1):

$$ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 $$

نفترض أن $a\neq0$ لأنه في حالة $a=0$ المعادلة ستؤول في حلها إلى معادلة من الدرجة الثانية و هذه الأخيرة حلها معلوم .

و الآن بما أن $a\neq0$ فيمكننا قسمة الطرفين على a فتصبح المعادلة كالتالي:

$ x^{3}+\frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

بتعويض x بقيمتها لدينا:

$ \left (y-\frac{b}{3a} \right )^{3}+\frac{b}{a}\left (y-\frac{b}{3a} \right )^{2}+\frac{c}{a}\left (y-\frac{b}{3a} \right )+\frac{d}{a}=0$

بعد النشر و التبسيط و ترتيب الحدود:

$ y^{3}+\left (3\left (\frac{b}{3a} \right )^{2}-\frac{2b^{2}}{3a^{2}} \right )y+\left ( \frac{b^{3}}{9a^{2}}-\frac{bc}{3a^{2}}+\frac{d}{a} \right )=0$

إذن المعادلة تكتب على الشكل: $ y^3+py+q=0$
و بهذا نكون قد بينا أن المعادلة (1) تكتب على شكل المعادلة الثانوية (2).
المرحلة الثانية هي إيجاد قيمة y في المعادلة (2) ابتداء ثم استنتاج قيمة x.
قبل الشروع في حل المعادلة (2) تجدر الإشارة إلى أن هذه الأخيرة يصعب حلها في حالة $ pq\neq0$ (أي $ p\neq0$ و $ q\neq0$) إذن: سنتناول حل هذه المعادلة في الحالة العامة حيث p و q غير منعدمين.

$ y^3+py+q=0$

نقوم الآن بتعويض آخر و ذلك بوضع $ y=u-v$ المعادلة تصبح:

$ (u-v)^3+p(u-v)+q=0$

بعد النشر و التبسيط و ترتيب الحدود

$ (u^{3}-v^{3}+q)+(p-3uv)(u-v)=0$

يمكننا أن نلاحظ أن الطرف الأيسر للمعادلة يكون منعدما إذا كان:
$ p-3uv=0$٭(1) و $ u^{3}-v^{3}+q=0$ ٭(2)
من المتساوية ٭(1) نجد:
$ v=\frac{p}{3u}$*
و بالتعويض في المتساوية ٭(2) نجد:

$ u^{3}-\left (\frac{p}{3u} \right )^{3}+q=0$

$ u^{3}-\frac{p^{3}}{27u^{3}}+q=0$

بعد ضرب الطرفين في $ 27u^{3}$ $ 27u^{6}+27qu^{3}-p^{3}=0 $

نضع $ n=u^{3} $ المعادلة تصبح: $ 27n^{2}+27qn-p^{3}=0 $

$ \frac{1}{2}n^{2}+\frac{q}{2}n-\frac{p^{3}}{54}=0$

إذن يجب حل هذه المعادلة من الدرجة الثانية لإيجاد u و v التي نحصل عليها من المتساوية * لنحصل في آخر المطاف على y .
و الآن يجب حل المعادلة من الدرجة الثانية:

لدينا:

$ \frac{1}{2}n^{2}+\frac{q}{2}n-\frac{p^{3}}{54}=0$

$ \Delta =(\frac{q}{2})^{2}-4\times \frac{1}{2}\times (\frac{-p^{3}}{2\times 27})$

$ \Delta =\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}$

إذا كان: $ \Delta > 0$

$ n=\frac{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{2}}}{2 \times \frac{1}{2}}$ أو $ n=\frac{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{2}}}{2 \times \frac{1}{2}}$

$ n=\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{2}}$ أو $ n=\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{2}}$

إذا كان: $ \Delta=0$

$ n=u^{3}=\frac{-q}{2}$

إذا كان : $ \Delta<0$ المعادلة ليس لها حل في .
و بعد إيجاد قيمة u نحصل على قيمة v من خلال المتساوية * وهي: $ v=\frac{p}{3u}$*
وبحساب الفرق نحصل على قيمة y.
و ختاما نحصل على قيمة x بالتعويض المتساوية (1):

$$x=y-\frac{b}{3a}$$

ملحوظة:

لحل معادلة من الدرجة الثالثة ليس لزاما القيام بكل هذه التعويضات إنما كان ذلك برهانا على الطريقة المعتمدة في بلوغ الحل.

و على الرابط تجدون البحث كاملا.

التحميل من هنا

المعادلات من الدرجة الثالثة

مواضيع ذات صلة